loglikelihood ratio 相似度理解

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loglikelihood

摘要:

在机器学习中常用到各种距离或者相似度,今天在看美团推荐系统重排序的文章时看到了loglikelihood ratio 相似度,特总结起来。以后有时间再把常用的相似度或者距离梳理到一篇文章。

背景:

记录loglikelihood ratio 相似度概念

总结:

下表表示了Event A和Event B之间的相互关系,其中:

k11 :Event A和Event B共现的次数 k12 :Event A发生,Event B未发生的次数 k21 :Event B发生,Event A未发生的次数 k22 :Event A和Event B都不发生的次数

则logLikelihoodRatio=2 * (matrixEntropy – rowEntropy – columnEntropy)

其中

rowEntropy = entropy(k11, k12) + entropy(k21, k22) columnEntropy = entropy(k11, k21) + entropy(k12, k22) matrixEntropy = entropy(k11, k12, k21, k22)

(entropy为几个元素组成的系统的香农熵)

下面举一个实际的例子:

 

我以一个实际的例子来介绍一下其中的计算过程:假设有商品全集I={a,b,c,d,e,f},其中A用户偏好商品{a,b,c},B用户偏好商品{b,d},那么有如下矩阵:

loglikelihood

  • k11表示用户A和用户B的共同偏好的商品数量,显然只有商品b,因此值为1
  • k12表示用户A的特有偏好,即商品{a,c},因此值为2
  • k21表示用户B的特有偏好,即商品d,因此值为1
  • k22表示用户A、B的共同非偏好,有商品{e,f},值为2

此外我们还定义以下变量N=k11+k12+k21+k22,即总商品数量。

计算步骤如下:

  1. 计算行熵
    loglikelihood
    注:代码中k11+k12与k21+k22均被约掉了,分母N也省去了
  2. 计算列熵loglikelihood
  3. 计算矩阵熵

loglikelihood

如何来解释这个相似度的计算方式呢?我们先来看看行熵、列熵和矩阵熵分别代表什么含义:行熵以用户A的偏好和非偏好来划分商品空间,很明显它是一个条件熵,我个人认为相对合理的解释是对于一个商品,在给定它是否属于A偏好的条件下,预测商品属于k11k12k21k22四个空间中哪一个空间的不确定度;同理,列熵则代表给定商品是否属于B偏好的条件下,预测商品属于k11k12k21k22四个空间中哪一个空间的不确定度;矩阵熵则表示在没有任何条件下,预测商品属于四个空间中哪一个空间的不确定度。我们以下图来看:

loglikelihood

在给定A偏好与否的条件,预测商品属于哪一个空间的不确定度为S1+S2;在给定B偏好与否的条件下,不确定度为S2+S3;在不给定任何条件下,预测商品属于哪一个空间的不确定度为S1+S2+S3。我的理解这个S2S2表示的就是给定A、B偏好条件下的公共的不确定度,其表达的就是如果A喜欢某个商品,对B也具有协同效应;如果B喜欢某个商品,对A也具有协同效应,这种公共不确定度或者说是关联其实反映的就是A用户与B用户的相似程度。由于前面计算熵的时候没有加上负号,步骤四中正好得到一个(S2),就变成正数了,至于为什么乘上2及1N1N去哪里了我也不清楚,但这只是一种幅度变换,不影响相对关系。

 

  1. 计算相似度
    UserSimilarity=2(matrixEntropyrowEntropycolumnEntropy)
  2. 实现代码:https://github.com/Tongzhenguo/Java-codes/blob/master/src/main/java/data/code/similarity/logLikelihoodRatio.java

参考链接:

http://www.csdn.net/article/2015-01-30/2823783

http://blog.csdn.net/u014374284/article/details/49823557

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