机器学习导论(14)–GMM高斯混合模型

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最近项目上需要HMM-GMM做一些事情,又来学习学习基本的概念

我们谈到了用 k-means 进行聚类的方法,这次我们来说一下另一个很流行的算法:Gaussian Mixture Model (GMM)。事实上,GMM 和 k-means 很像,不过 GMM 是学习出一些概率密度函数来(所以 GMM 除了用在 clustering 上之外,还经常被用于 density estimation ),简单地说,k-means 的结果是每个数据点被 assign 到其中某一个 cluster 了,而 GMM 则给出这些数据点被 assign 到每个 cluster 的概率,又称作 soft assignment

得出一个概率有很多好处,因为它的信息量比简单的一个结果要多,比如,我可以把这个概率转换为一个 score ,表示算法对自己得出的这个结果的把握。也许我可以对同一个任务,用多个方法得到结果,最后选取“把握”最大的那个结果;另一个很常见的方法是在诸如疾病诊断之类的场所,机器对于那些很容易分辨的情况(患病或者不患病的概率很高)可以自动区分,而对于那种很难分辨的情况,比如,49% 的概率患病,51% 的概率正常,如果仅仅简单地使用 50% 的阈值将患者诊断为“正常”的话,风险是非常大的,因此,在机器对自己的结果把握很小的情况下,会“拒绝发表评论”,而把这个任务留给有经验的医生去解决。

废话说了一堆,不过,在回到 GMM 之前,我们再稍微扯几句。我们知道,不管是机器还是人,学习的过程都可以看作是一种“归纳”的过程,在归纳的时候你需要有一些假设的前提条件,例如,当你被告知水里游的那个家伙是鱼之后,你使用“在同样的地方生活的是同一种东西”这类似的假设,归纳出“在水里游的都是鱼”这样一个结论。当然这个过程是完全“本能”的,如果不仔细去想,你也不会了解自己是怎样“认识鱼”的。另一个值得注意的地方是这样的假设并不总是完全正确的,甚至可以说总是会有这样那样的缺陷的,因此你有可能会把虾、龟、甚至是潜水员当做鱼。也许你觉得可以通过修改前提假设来解决这个问题,例如,基于“生活在同样的地方并且穿着同样衣服的是同一种东西”这个假设,你得出结论:在水里有并且身上长有鳞片的是鱼。可是这样还是有问题,因为有些没有长鳞片的鱼现在又被你排除在外了。

在这个问题上,机器学习面临着和人一样的问题,在机器学习中,一个学习算法也会有一个前提假设,这里被称作“归纳偏执 (bias)”(bias 这个英文词在机器学习和统计里还有其他许多的意思)。例如线性回归,目的是要找一个函数尽可能好地拟合给定的数据点,它的归纳偏执就是“满足要求的函数必须是线性函数”。一个没有归纳偏执的学习算法从某种意义上来说毫无用处,就像一个完全没有归纳能力的人一样,在第一次看到鱼的时候有人告诉他那是鱼,下次看到另一条鱼了,他并不知道那也是鱼,因为两条鱼总有一些地方不一样的,或者就算是同一条鱼,在河里不同的地方看到,或者只是看到的时间不一样,也会被他认为是不同的,因为他无法归纳,无法提取主要矛盾、忽略次要因素,只好要求所有的条件都完全一样──然而哲学家已经告诉过我们了:世界上不会有任何样东西是完全一样的,所以这个人即使是有无比强悍的记忆力,也绝学不到任何一点知识

这个问题在机器学习中称作“过拟合 (Overfitting)”,例如前面的回归的问题,如果去掉“线性函数”这个归纳偏执,因为对于 N 个点,我们总是可以构造一个 N-1 次多项式函数,让它完美地穿过所有的这 N 个点,或者如果我用任何大于 N-1 次的多项式函数的话,我甚至可以构造出无穷多个满足条件的函数出来。如果假定特定领域里的问题所给定的数据个数总是有个上限的话,我可以取一个足够大的 N ,从而得到一个(或者无穷多个)“超级函数”,能够 fit 这个领域内所有的问题。然而这个(或者这无穷多个)“超级函数”有用吗?只要我们注意到学习的目的(通常)不是解释现有的事物,而是从中归纳知识,并能应用到新的事物上,结果就显而易见了。

没有归纳偏执或者归纳偏执太宽泛会导致 Overfitting ,然而另一个极端──限制过大的归纳偏执也是有问题的:如果数据本身并不是线性的,强行用线性函数去做回归通常并不能得到好结果。难点正在于在这之间寻找一个平衡点。不过人在这里相对于(现在的)机器来说有一个很大的优势:人通常不会孤立地用某一个独立的系统和模型去处理问题,一个人每天都会从各个来源获取大量的信息,并且通过各种手段进行整合处理,归纳所得的所有知识最终得以统一地存储起来,并能有机地组合起来去解决特定的问题。这里的“有机”这个词很有意思,搞理论的人总能提出各种各样的模型,并且这些模型都有严格的理论基础保证能达到期望的目的,然而绝大多数模型都会有那么一些“参数”(例如 K-means 中的 k ),通常没有理论来说明参数取哪个值更好,而模型实际的效果却通常和参数是否取到最优值有很大的关系,我觉得,在这里“有机”不妨看作是所有模型的参数已经自动地取到了最优值。另外,虽然进展不大,但是人们也一直都期望在计算机领域也建立起一个统一的知识系统(例如语意网就是这样一个尝试)。

废话终于说完了,回到 GMM 。按照我们前面的讨论,作为一个流行的算法,GMM 肯定有它自己的一个相当体面的归纳偏执了。其实它的假设非常简单,顾名思义,Gaussian Mixture Model ,就是假设数据服从 Mixture Gaussian Distribution ,换句话说,数据可以看作是从数个 Gaussian Distribution 中生成出来的。实际上,我们在 K-meansK-medoids 两篇文章中用到的那个例子就是由三个 Gaussian 分布从随机选取出来的。实际上,从中心极限定理可以看出,Gaussian 分布(也叫做正态 (Normal) 分布)这个假设其实是比较合理的,除此之外,Gaussian 分布在计算上也有一些很好的性质,所以,虽然我们可以用不同的分布来随意地构造 XX Mixture Model ,但是还是 GMM 最为流行。另外,Mixture Model 本身其实也是可以变得任意复杂的,通过增加 Model 的个数,我们可以任意地逼近任何连续的概率密分布。

每个 GMM 由 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 个 Gaussian 分布组成,每个 Gaussian 称为一个“Component”,这些 Component 线性加成在一起就组成了 GMM 的概率密度函数:

\displaystyle
\begin{aligned}
p(x) & = \sum_{k=1}^K p(k)p(x|k) \\
     & = \sum_{k=1}^K \pi_k \mathcal{N}(x|\mu_k, \Sigma_k)
\end{aligned}

根据上面的式子,如果我们要从 GMM 的分布中随机地取一个点的话,实际上可以分为两步:首先随机地在这 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 个 Component 之中选一个,每个 Component 被选中的概率实际上就是它的系数 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 ,选中了 Component 之后,再单独地考虑从这个 Component 的分布中选取一个点就可以了──这里已经回到了普通的 Gaussian 分布,转化为了已知的问题。

那么如何用 GMM 来做 clustering 呢?其实很简单,现在我们有了数据,假定它们是由 GMM 生成出来的,那么我们只要根据数据推出 GMM 的概率分布来就可以了,然后 GMM 的 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 个 Component 实际上就对应了 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 个 cluster 了。根据数据来推算概率密度通常被称作 density estimation ,特别地,当我们在已知(或假定)了概率密度函数的形式,而要估计其中的参数的过程被称作“参数估计”。

现在假设我们有 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 个数据点,并假设它们服从某个分布(记作 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 ),现在要确定里面的一些参数的值,例如,在 GMM 中,我们就需要确定 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 这些参数。 我们的想法是,找到这样一组参数,它所确定的概率分布生成这些给定的数据点的概率最大,而这个概率实际上就等于 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 ,我们把这个乘积称作似然函数 (Likelihood Function)。通常单个点的概率都很小,许多很小的数字相乘起来在计算机里很容易造成浮点数下溢,因此我们通常会对其取对数,把乘积变成加和 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型,得到 log-likelihood function 。接下来我们只要将这个函数最大化(通常的做法是求导并令导数等于零,然后解方程),亦即找到这样一组参数值,它让似然函数取得最大值,我们就认为这是最合适的参数,这样就完成了参数估计的过程。

下面让我们来看一看 GMM 的 log-likelihood function :

\displaystyle
\sum_{i=1}^N \log \left\{\sum_{k=1}^K \pi_k \mathcal{N}(x_i|\mu_k, \Sigma_k)\right\}

由于在对数函数里面又有加和,我们没法直接用求导解方程的办法直接求得最大值。为了解决这个问题,我们采取之前从 GMM 中随机选点的办法:分成两步,实际上也就类似于 K-means 的两步。

  1. 估计数据由每个 Component 生成的概率(并不是每个 Component 被选中的概率):对于每个数据 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 来说,它由第 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 个 Component 生成的概率为
    \displaystyle
    \gamma(i, k) = \frac{\pi_k \mathcal{N}(x_i|\mu_k, \Sigma_k)}{\sum_{j=1}^K \pi_j\mathcal{N}(x_i|\mu_j, \Sigma_j)}
    

    由于式子里的 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 也是需要我们估计的值,我们采用迭代法,在计算 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 的时候我们假定 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 均已知,我们将取上一次迭代所得的值(或者初始值)。

  2. 估计每个 Component 的参数:现在我们假设上一步中得到的 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 就是正确的“数据 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 由 Component 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 生成的概率”,亦可以当做该 Component 在生成这个数据上所做的贡献,或者说,我们可以看作 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 这个值其中有 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 这部分是由 Component 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型所生成的。集中考虑所有的数据点,现在实际上可以看作 Component 生成了 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 这些点。由于每个 Component 都是一个标准的 Gaussian 分布,可以很容易分布求出最大似然所对应的参数值:
    \displaystyle
    \begin{aligned}
    \mu_k & = \frac{1}{N_k}\sum_{i=1}^N\gamma(i, k)x_i \\
    \Sigma_k & = \frac{1}{N_k}\sum_{i=1}^N\gamma(i,
    k)(x_i-\mu_k)(x_i-\mu_k)^T
    \end{aligned}
    

    其中 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 ,并且 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型 也顺理成章地可以估计为 机器学习导论(14)--GMM高斯混合模型

  3. 重复迭代前面两步,直到似然函数的值收敛为止。

当然,上面给出的只是比较“直观”的解释,想看严格的推到过程的话,可以参考 Pattern Recognition and Machine Learning 这本书的第九章。有了实际的步骤,再实现起来就很简单了。Matlab 代码如下:

(Update 2012.07.03:如果你直接把下面的代码拿去运行了,碰到 covariance 矩阵 singular 的情况,可以参见这篇文章。)

function varargout = gmm(X, K_or_centroids)
% ============================================================
% Expectation-Maximization iteration implementation of
% Gaussian Mixture Model.
%
% PX = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
% [PX MODEL] = GMM(X, K_OR_CENTROIDS)
%
%  - X: N-by-D data matrix.
%  - K_OR_CENTROIDS: either K indicating the number of
%       components or a K-by-D matrix indicating the
%       choosing of the initial K centroids.
%
%  - PX: N-by-K matrix indicating the probability of each
%       component generating each point.
%  - MODEL: a structure containing the parameters for a GMM:
%       MODEL.Miu: a K-by-D matrix.
%       MODEL.Sigma: a D-by-D-by-K matrix.
%       MODEL.Pi: a 1-by-K vector.
% ============================================================
 
    threshold = 1e-15;
    [N, D] = size(X);
 
    if isscalar(K_or_centroids)
        K = K_or_centroids;
        % randomly pick centroids
        rndp = randperm(N);
        centroids = X(rndp(1:K), :);
    else
        K = size(K_or_centroids, 1);
        centroids = K_or_centroids;
    end
 
    % initial values
    [pMiu pPi pSigma] = init_params();
 
    Lprev = -inf;
    while true
        Px = calc_prob();
 
        % new value for pGamma
        pGamma = Px .* repmat(pPi, N, 1);
        pGamma = pGamma ./ repmat(sum(pGamma, 2), 1, K);
 
        % new value for parameters of each Component
        Nk = sum(pGamma, 1);
        pMiu = diag(1./Nk) * pGamma' * X;
        pPi = Nk/N;
        for kk = 1:K
            Xshift = X-repmat(pMiu(kk, :), N, 1);
            pSigma(:, :, kk) = (Xshift' * ...
                (diag(pGamma(:, kk)) * Xshift)) / Nk(kk);
        end
 
        % check for convergence
        L = sum(log(Px*pPi'));
        if L-Lprev < threshold
            break;
        end
        Lprev = L;
    end
 
    if nargout == 1
        varargout = {Px};
    else
        model = [];
        model.Miu = pMiu;
        model.Sigma = pSigma;
        model.Pi = pPi;
        varargout = {Px, model};
    end
 
    function [pMiu pPi pSigma] = init_params()
        pMiu = centroids;
        pPi = zeros(1, K);
        pSigma = zeros(D, D, K);
 
        % hard assign x to each centroids
        distmat = repmat(sum(X.*X, 2), 1, K) + ...
            repmat(sum(pMiu.*pMiu, 2)', N, 1) - ...
            2*X*pMiu';
        [dummy labels] = min(distmat, [], 2);
 
        for k=1:K
            Xk = X(labels == k, :);
            pPi(k) = size(Xk, 1)/N;
            pSigma(:, :, k) = cov(Xk);
        end
    end
 
    function Px = calc_prob()
        Px = zeros(N, K);
        for k = 1:K
            Xshift = X-repmat(pMiu(k, :), N, 1);
            inv_pSigma = inv(pSigma(:, :, k));
            tmp = sum((Xshift*inv_pSigma) .* Xshift, 2);
            coef = (2*pi)^(-D/2) * sqrt(det(inv_pSigma));
            Px(:, k) = coef * exp(-0.5*tmp);
        end
    end
end

函数返回的 Px 是一个 N\times K 的矩阵,对于每一个 x_i ,我们只要取该矩阵第 i 行中最大的那个概率值所对应的那个 Component 为 x_i 所属的 cluster 就可以实现一个完整的聚类方法了。对于最开始的那个例子,GMM 给出的结果如下:

gmm

相对于之前 K-means 给出的结果,这里的结果更好一些,左下角的比较稀疏的那个 cluster 有一些点跑得比较远了。当然,因为这个问题原本就是完全有 Mixture Gaussian Distribution 生成的数据,GMM (如果能求得全局最优解的话)显然是可以对这个问题做到的最好的建模。

另外,从上面的分析中我们可以看到 GMM 和 K-means 的迭代求解法其实非常相似(都可以追溯到 EM 算法,下一次会详细介绍),因此也有和 K-means 同样的问题──并不能保证总是能取到全局最优,如果运气比较差,取到不好的初始值,就有可能得到很差的结果。对于 K-means 的情况,我们通常是重复一定次数然后取最好的结果,不过 GMM 每一次迭代的计算量比 K-means 要大许多,一个更流行的做法是先用 K-means (已经重复并取最优值了)得到一个粗略的结果,然后将其作为初值(只要将 K-means 所得的 centroids 传入 gmm 函数即可),再用 GMM 进行细致迭代。

如我们最开始所讨论的,GMM 所得的结果(Px)不仅仅是数据点的 label ,而包含了数据点标记为每个 label 的概率,很多时候这实际上是非常有用的信息。最后,需要指出的是,GMM 本身只是一个模型,我们这里给出的迭代的办法并不是唯一的求解方法。感兴趣的同学可以自行查找相关资料。

正文完
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