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机器学习导论(附录)–多变量极值数学分析

ml admin 3年前 (2016-11-16) 1373次浏览 0个评论 扫描二维码

多元函数求极值问题 – ACdreamer – 博客频道 – CSDN.NET

今天来讨论多元函数求极值问题,在Logistic 回归牛顿迭代法求参数会用到,所以很有必要把它研究清楚。

 

回想一下,一元函数求极值问题我们是怎样做的?比如对于凹函数,先求一阶导数,得

由于极值处导数一定为零,但是导数等于零的点不一定就有极值,比如。所以还需要进一步判断,对

函数继续求二阶导得到,因为在驻点处二阶导数成立,所以

处取得极小值,二阶导数在这里的意义就是判断函数局部的凹凸性。

 

在多元函数中求极值的方法类似,只是在判断凹凸性这里引入了一个矩阵,叫做Hessian 矩阵

 

如果实值多元函数在定义域内二阶连续可导,那么我们求它的极值,首先对所有求偏导,即

得到个方程如下

 

 

通过这个方程可以解得驻点,这个驻点是一个长度为的一维向量。但是我们仅仅得到这个驻点,其实在这

个驻点有3种情况,分别是:局部极大值,局部极小值和非极值。

 

所以接下来要做的事就是判断这个驻点属于这 3 个中的哪一个。所以就引入了Hessian 矩阵,也就是说它用来

判断在多元函数的凹凸性问题。

 

Hessian 矩阵是一个多元函数的二阶偏导数构成的方阵,描述了函数的局部曲率,常用于牛顿迭代法解决优化问题。

例如对于上面的多元函数,如果它的二阶偏导数都存在,那么Hessian 矩阵如下

 

 

如果函数在定义域内二阶连续可导,那么Hessian 矩阵在定义域内为对称矩阵,因为如果函数

续,则二阶偏导数的求导顺序没有区别,即

 

 

有了Hessian 矩阵,我们就可以判断上述极值的 3 种情况了,结论如下

 

(1)如果是正定矩阵,则临界点处是一个局部极小值

(2)如果是负定矩阵,则临界点处是一个局部极大值

(3)如果是不定矩阵,则临界点处不是极值

 

接下来继续学习如何判断一个矩阵是否是正定的,负定的,还是不定的。

 

一个最常用的方法就是顺序主子式。实对称矩阵为正定矩阵的充要条件是的各顺序主子式都大于零

 

由于这个方法涉及到行列式的计算,比较麻烦! 对于实二次型矩阵还有一个方法,描述如下

 

实二次型矩阵为正定二次型的充要条件是的矩阵的特征值全大于零。为负定二次型的充要条

件是的矩阵的特征值全小于零,否则是不定的。


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