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关于矩概念有意思的描述

math admin 来源:作者:荆哲 -知乎 3个月前 (09-18) 313次浏览 0个评论 扫描二维码
因为我们常常会将随机变量(先假定有任意阶矩)作一个线性变换,把一阶矩(期望)归零,二阶矩(方差)归一,以便统一研究一些问题。这时候,在同样期望为 0 方差为 1 的标准情况下(以下均假设随机变量满足该条件),随机变量最重要的指标就变成了接下来的两个矩了。
三阶矩,就是我们所称的「偏度」。粗略来说,一个典型的正偏度变量 X 的分布满足这样的特征:很大的概率 X 会取绝对值较小的负值,但在极少数情况下,X 会取特别大的正值。可以理解为「一般为负,极端值为正」。典型的正偏度投资,就是彩票和保险:一般来说,你花的那一点小钱就打水漂了,但是这一点钱完全是在承受范围内的;而这点钱则部分转化为小概率情况下的巨大收益。而负偏度变量则正好相反,「一般为正,极端值为负」,可以参照一些所谓的「灰色产业」:一般情况下是可以赚到一点钱的,但是有较小的概率「东窗事发」,赔得血本无归。
四阶矩,又称峰度,简单来说相当于「方差的方差」,和偏度类似,都可以衡量极端值的情况。峰度较大通常意味着极端值较常出现,峰度较小通常意味着极端值即使出现了也不会「太极端」。峰度是大还是小通常与 3(即正态分布的峰度)相比较。
至于为什么五阶以上的矩没有专门的称呼,主要是因为我们习惯的线性变换,只有两个自由度,故最多只能将前两阶矩给「标准化」。这样,标准化以后,第三、第四阶的矩就比较重要了,前者衡量正负,后者衡量偏离程度,与均值、方差的关系类似。换句话说,假如我们能把前四阶矩都给「标准化」了,那么五阶、六阶的矩就会比较重要了吧。

我曾经和骠骑将军 讨论过类似的问题。要是把一个人的一生当作一个函数 f(t)(t 是时间),那么「一阶矩」(整个人生的积分,即∫f(t)dt)就可以用来衡量这一生总体是好还是坏;而「二阶矩」(整个人生的平方积分,即∫[f(t)]^2dt,下同)则衡量这一生是一帆风顺还是大起大落。
然而,正所谓「久入芝兰之室而不闻其香,久入鲍鱼之肆而不闻其臭」。生活条件优越(一阶矩较正)的人,已经习惯了,于是一点点不顺心也会当作大事;生活风平浪静(二阶矩较小)的人,则一点点起落也会表现得很敏感。于是,我假定每个人对自己人生的主观感觉 g(t),就是对 f(t)做了一个线性变换以将一、二阶矩都标准化。这么看来,其实每个人的人生都差不多,一阶矩都是 0,二阶矩都是 1。
但是真的是如此吗?后来我自己思考了一下,将一、二阶矩都标准化后,下一个显著特征就是三阶矩(∫[g(t)]^3dt)了。前面提到,三阶矩比较正的,就是「一般负,极端正」。三阶矩很正的人生,多为那些暴发户,庸碌终生,显赫一时;而是三阶矩很负的,「一般正,极端负」,则可以参照那些「温室的花朵」,平时很优越,但一次挫折就迅速毁了这个人的一生。所以不同的人生还是不一样的吧。

2017-2-4 补充:四阶矩(∫[g(t)]^4dt)远小于 3 的人生,是比较常规的,有欢笑,也有泪水,不会有什么太大的变动,偶尔的大悲大喜也未尝不是一份宝贵的经历。而四阶矩远大于 3 的人生,则会明显地有那么几次大起大落,它们对你的影响是如此深刻,以致于面对生命中其他的欢笑和泪水时,总是麻木地、带着苦笑地一笔带过了,丝毫无法在内心激起哪怕一丝波澜;当回首一生,除了那么几个时间节点,几乎没有任何可圈可点的内容。这么看来,不同的人生就更不一样了。

2017-4-5 补充:再提供一个理解的角度,有错误的话请指正:
集中收益,分散风险:正偏度
分散收益,集中风险:负偏度
集中收益,集中风险:大峰度
分散收益,分散风险:小峰度

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